Bases Numéricas

Introdução

Bases numéricas consistem nas diferentes formas de escrever um número. São úteis em problemas de permutação ou quando é preciso organizar um alfabeto qualquer de caracteres.

Definição

Uma base B possui uma sequência seq de números tal que $seq[i]$ é o número pelo qual o algarismo na posição i (começando da direita) é multiplicado. Tomamos como exemplo uma base B que possui uma sequência $seq = \{c_1, c_2, c_3, c_4, ...\}$ (o primeiro elemento é seq[1] e não seq[0]). Um número $abcd_B$ escrito em base B representa $a*c_4 + b*c_3 + c*c_2 + d*c_1$.
A principal característica de uma base é que TODOS os números são representados por somente UMA forma.

Base Decimal

É a base que todos usamos, sua sequência são as potências de 10 $\{1, 10, 100, 1000, 10000, ...\}$. Um número do tipo $abcd_{10}$ em decimal quer dizer $a*10^3 + b*10^2 + c*10^1 + d*10^0$.

Base Binária

Análoga à base decimal porém os nesta a sequência são as potências de 2 $\{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...\}$. Um número do tipo $abcd_2$ em binário quer dizer $a*2^3 + b*2^2 + c*2^1 + d*2^0$.

Base Fatorial

Nesta base a sequência é a fatorial (começando do fatorial de 1) $\{1, 2, 6, 24, 120, ... \}$. Porém esta base tem uma peculiaridade, os números admissíveis para cada cada posição variam! Na base 10 temos que $seq[i] = seq[i-1]*10$, logo para representarmos todos os números até $seq[i] - 1$ (inclusive), $seq[i-1]$ deve ser multiplicado por no máximo 9. Visto que $10*seq[i-1] = seq[i]$, se a operação $seq[i-1]*10$ fosse permitida, teríamos 2 formas de representar o número $seq[i]$, o que não é permitido! Em base fatorial como $seq[i] = seq[i-1]*i$, para representarmos todos os números até $seq[i] - 1$ (inclusive), $seq[i-1]$ deve ser multiplicado por no máximo $i - 1$.Esta afirmação é feita com base na seguinte observação:

(1)
\begin{align} n! - 1 = \sum_{i=1}^{n-1}i!*i \end{align}

Prova:
Se $n = 2$, $sum(n) = 1$
Senao, $sum(n) = sum(n-1) + n!*n$

Unsupported math environment "flalign"

Exemplo, o número em base fatorial $4220_{fat} = 0*1 + 2*2! + 2*3! + 4*4! = 112_{10}$.

Para Praticar

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